Lec1. 非线性系统介绍
非线性系统的特点
| 特点 | 线性系统 | 非线性系统 |
|---|---|---|
| 叠加原理 | 满足 | 不满足 |
| 平衡点与稳定性 | 取决于A的特征值 | 不仅依赖于结构和参数，还与初始条件和外加输入信号等有关 |
| 自激振荡 | 无，运动只有收敛、发散、等幅振荡 | 没有外界周期信号，系统内产生固定振幅和频率的周期运动 |
| 频率响应 | 输入输出为同频的正弦信号 | 正弦信号作用下，其输出可能存在倍频振荡和分频振荡 |
典型的非线性特征
- 死区特征
灵敏度下降，稳态误差加大；可以滤除小幅度震荡的信号，抗干扰。
- 饱和特性
降低稳定系统的开环增益，降低超调量、减弱振荡性，增大系统的静态误差。可能会使不稳定系统自激振荡。
- 间隙特性
这里b是可以变的，唯一不变的是间隙2a，如果x增大到很大，b也会随之增长到很大，联想物理意义，只有间隙不变。
增大系统的稳态误差，降低控制精度；使系统过渡过程的震荡加剧，甚至使系统变为不稳定。
- 继电器特性
- 双位特性
- 双位特性+滞环
- 三位特性+滞环
可以提高响应速度，但容易引发自振
非线性系统分析方法
- 描述函数方法（谐波线性化法，频率法在非线性中的推广）
- 优点：简单
- 缺点：理论基础不完善；近似会丧失非线性信息，无法参透复杂现象的本质与特性
- 相平面方法（图解分析一、二阶非线性系统，需绘制相轨迹）
- 优点：无需求解就能获取系统运动性质的定性知识
- 缺点：仅仅适用于一阶和二阶系统 >
相轨迹是指在相空间中，系统状态随时间演化的轨迹。在动力系统中，相空间是由系统的状态变量（如位置和速度）所构成的空间。相轨迹表示系统状态在这些变量中的变化情况。
>具体来说，相轨迹可以用来分析非线性系统的动态行为。通过绘制相轨迹，我们可以直观地了解系统的运动特征，例如平衡点、周期轨道、混沌行为等。相平面方法是一种图解的方法，用于分析和理解一阶和二阶非线性系统的动态特性。
- 李亚普诺夫方法（第一方法：平衡点一阶近似得到局部稳定性；第二方法：能量函数）
- 优点：理论上适合任何非线性系统
- 缺点：难以构造Lyapunov函数
- 微分几何控制理论
- 优点：近年来的主流
- 缺点：成果缺乏感性认知
Lec2. 描述函数定义
描述函数方法
傅里叶展开的定义
假设： 1. 系统线性部分G和非线性环节N可分离，且非线性特性具奇对称特性
- 线性部分G应具良好的低通滤波特性
描述函数的定义：
其中：
非线性特征的描述函数
死区特征的描述函数
饱和特征的描述函数
继电器特性的描述函数
d=0 理想继电器
m=1 三位继电器
m=-1 滞环继电器
间隙特征的描述函数
组合非线性特征的描述函数
- 并联
描述函数相加即可。数个非线性特性并联后，总的描述函数等于各个非线性环节描述函数之和。
- 串联
不能相乘！需要先求出y(x)，再求总体的描述函数
串联例子：
